“Μετρώντας” το άπειρο!!

Ανά τους αιώνες ο άνθρωπος προσπαθούσε να ανακαλύψει τον κόσμο γύρω του χρησιμοποιώντας τις αισθήσεις του και Στην αρχαιότητα δεν είναι λίγοι αυτοί που ασχολήθηκαν με την φιλοσοφική όσο και μαθηματική έννοια και ερμηνεία του απείρου. Από τον Αναξίμανδρο και τον Πυθαγόρα ως τους Αρχιμήδη και Πλωτίνο, όλοι σχεδόν οι φιλόσοφοι και μαθηματικοί ασχολήθηκαν με αυτό, είτε σαν απείρως μικρό, είτε σαν απείρως μεγάλο. Από την εποχή εκείνη μέχρι και σήμερα παρατηρούμε τον “διαχωρισμό” του απείρου σε δύο κατηγορίες, το “δυνάμει άπειρο” και το “ενεργεία άπειρο”. Τι εννοούμε όμως; Ένα απλό παράδειγμα είναι το εξής: μπορούμε να εργασθούμε μέσα στο σύνολο των Φυσικών αριθμών, με αντικείμενα σπουδής τους αριθμούς 1,2,3,4,… (“δυνάμει άπειρο”), αλλά όχι να θεωρήσουμε το ίδιο το σύνολο των Φυσικών αριθμών ως αντικείμενο σπουδής (“ενεργεία άπειρο”).

Παράδοξα που όπως χαρακτήρισε ο φιλόσοφος και μαθηματικός Β. Russell “ασύγκριτα διακριτικά και βαθιά” υπάρχουν από τον καιρό του Ζήνωνα (6ος αιώνας π.Χ.). Ας αναφέρουμε το πιο γνωστό.

Το παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας (Ζήνων ο Ελάτης)

Ο Αχιλλέας και η χελώνα ξεκινάνε έναν παράξενο αγώνα δρόμου. Η χελώνα, που είναι 10 φορές πιο αργή από τον Αχιλλέα, ξεκινά με προβάδισμα 10 μέτρων πιο μπροστά από τον Αχιλλέα ο οποίος είναι πιο 10 φορές πιο γρήγορος από την χελώνα. Ο Αχιλλέας για να φτάσει την χελώνα πρέπει να διανύσει πρώτα την απόσταση των 10 μέτρων που έχει προβάδισμα η χελώνα. Εκείνη την στιγμή όμως η χελώνα θα έχει διανύσει 1 μετρό, οπότε θα είναι πιο μπροστά από τον Αχιλλέα. Με την ίδια λογική ο Αχιλλέας τώρα πρέπει να διανύσει το 1 μέτρο της χελώνας, όμως σε αυτό το χρονικό διάστημα η χελώνα θα έχει διανύσει 10cm, άρα θα βρίσκετε πιο μπροστά από τον Αχιλλέα. Μετά ο Αχιλλέας πρέπει αν διανύσει τα 10cm και η χελώνα θα έχει προχωρήσει άλλο 1cm. Με την ίδια λογική, ο Αχιλλέας θα πρέπει να διανύσει το 1cm της χελώνας και η χελώνα θα έχει διανύσει 10mm, οπότε θα βρίσκετε πιο μπροστά από τον Αχιλλέα μας. Μπορεί η διαφορά τους ολοένα να μικραίνει αλλά, εφόσον η απόσταση μπορεί να διαιρείται με το 10 επ’ άπειρον, ο δύστυχος Αχιλλέας δεν θα φτάσει ποτέ την χελώνα!!!

Το παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας

Χιλιάδες χρόνια μετά ο “πρίγκηπας των μαθηματικών” J.C.F. Gauss έδωσε μία λύση στο παραπάνω παράδοξο με το γνωστό άθροισμα απείρων όρων μίας σειράς, λέγοντας ότι δεν είναι αναγκαστικά άπειρο αλλά μπορεί να είναι πεπερασμένο. Ακόμα όμως απέχουμε πολύ από το να κατανοήσουμε το άπειρο.


H άπειρη τρομπέτα

Ας φανταστούμε μια τρομπέτα με άπειρη επιφάνεια όπως ακριβώς στο παρακάτω σχήμα. Η επιφάνεια της συνεχίζεται επ’ άπειρον. O όγκος
της από την άλλη είναι πεπερασμένος. Θα ήταν
λογικό αν θέλαμε να βάψουμε την τρομπέτα μας.

άπειρο τρομπέτα

να χρειαζόμασταν άπειρη ποσότητα μπογιάς.
Ομως δεν είναι αλήθεια αυτό. Αφού μπορούμε
να γεμίσουμε την εσωτερική επιφάνεια με
πεπερασμένη ποσότητα μπογιάς (ο όγκος αποδεικνύεται ότι είναι πεπερασμένος) αυτή η μπογιά θα έβαφε την εσωτερική επιφάνεια και θα περίσσευε κίολας. Οπότε ενώ η επιφάνεια είναι άπειρη η ποσότητα μπογιάς για να την βάψουμε είναι πεπερασμένη.

Κάποια άπειρα είναι μεγαλύτερα από άλλα!

Ας πάρουμε το σύνολο των Φυσικών αριθμών δλδ 1, 2, 3, 4, 5,… και το σύνολο όλων των Πραγματικών αριθμών, δλδ, των Φυσικών, Ρητών και Άρρητων αριθμών. Φανερά είναι και τα δύο άπειρα. Η ερώτηση πλέον είναι αν κάποιο είναι “πιο μεγάλο” άπειρο από το άλλο. Μεγάλη ήταν η συνεισφορά του Cantor στον τομέα αυτό. Μέχρι τότε επικρατούσε η γενική αντίληψη ότι “το μέρος είναι μικρότερο του όλου”. 

Ο Cantor έδειξε ότι ένα ευθύγραμμο τμήμα περιέχει το ίδιο πλήθος σημείων με μία οποιαδήποτε ευθεία!
Απέδειξε δλδ ότι τα σημεία ενός
ευθυγράμμου τμήματος μπορούν να
αντιστοιχιθούν με 1-1 αντιστοιχία με
όλα τα σημεία της ευθείας. Θα ήταν
παράληψη να μην μιλήσουμε επίσης
για το σύνολο Cantor το οποίο
κατασκευάζετε ως εξής: έχουμε το
εθυγραμμο τμήμα ΑΒ με μήκος 1 και
το χωρίζουμε σε 3 ίσα μέρη, έπειτα
διώχνουμε το μεσαίο μέρος και
επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία για κάθε εναπομείναν ευθύγραμμο τμήμα επ’ άπειρον. Τότε αποδεικνύεται ότι το συνολικό μήκος που αφαιρούμε είναι μήκους 1, όμως στο “τέλος” της διαδικασίας μας απομένουν απείρως μη αριθμήσιμα σημεία. Ανέφερε ο ίδιος όταν το ανακάλυψε: “Το βλέπω αλλά δεν το πιστεύω”!! Αναφέραμε μια έννοια όμως, το μη αριθμήσιμο. Τι εννοούμε με αυτό; Το άπειρο των φυσικών αριθμών είναι άπειρο όμως γνωρίζουμε πάντα ποιός είναι ο επόμενος αριθμός και πως κατασκευάζονται όλοι οι Φυσικοί αριθμοί. Κάτι τέτοιο δεν γίνεται στους Πραγματικούς αριθμούς. Λέμε λοιπόν ότι κάτι είναι αριθμήσιμο (αν και προτιμώ την λέξη κατηγοριοποιήσιμο) άπειρο αν και μόνο αν μπορούμε να βρούμε αντιστοίχιση μεταξύ του συνόλου και του συνόλου των φυσικών αριθμών. Πράγματι με αυτόν τον ορισμό οι Πραγματικοί αριθμοί είναι “πιο πολλοί” απο τους Φυσικούς αν και οι τα δύο σύνολα είναι άπειρα!!!

 

 

Τελειώνοντας, θα ήθελα να μνημονεύσω τον “Χερ Προφέσορ” D. Hilbert που χωρίς την δική του πρωτοβουλία και παρότρυνση δεν θα είχαν ποτέ τα μαθηματικά εξελιχθεί σε αυτόν τον τομέα.

 Έπεται συνέχεια…… 

Τι γνωρίζετε για το Το Άπειρο ξενοδοχείο (Hilbert);
Τι είναι το άπειρο; Ποιά είναι τα είδη του;
Πώς τα υπολογίζουμε; Πώς τα χρησιμοποιούμε και τα αντιλαμβανόμαστε;

Δημήτρης Ανδρέσας

One thought on ““Μετρώντας” το άπειρο!!

Leave a Reply